Analisis de Fourier: 2016

“Cualquier señal continua y periódica podría representarse como la suma una serie de ondas senoidales adecuadamente elegidas.”

El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

El Análisis de Fourier informa acerca de la presencia o ausencia de determinadas frecuencias en la señal que debemos analizar. Estas frecuencias, poseen cierto carácter universal: el dominio de interés puede estar relacionado con ondas físicas (óptica, vibraciones, sonido,...) o se basa en ciertas periodicidades de acontecimientos (economía, biología, astronomía,...).

El Análisis de Fourier es una técnica de gran utilidad para el análisis de las funciones (señales) periódicas o suficientemente regulares, sobre todo desde el descubrimiento de la transformada rápida de Fourier. Pero para señales no periódicas o irregulares presenta eventualmente más inconvenientes que ventajas.

Aplicaciones en la Ingeniería.

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

Utilidad del Analisis de Fourier.

El análisis de Fourier es una herramienta matemática que permite expresar una función f(t) en relación a un conjunto de funciones ortogonales gi(t), mediante una combinación lineal de éstas. Es decir,

Eligiendo convenientemente el conjunto de funciones ortogonales podemos realizar un análisis de f(t) en función de las características o propiedades de las funciones gi(t).

Una de las aplicaciones prácticas más frecuentes del análisis de Fourier es la representación de señales en función de sus componentes de frecuencia. Esto se consigue porque las funciones base en el Análisis de Fourier son sinusoides.

Serie Trigonométricas de Fourier.

Permite representar una función como una suma de funciones sinusoidales.

Sea f(t) una función deﬁnida en el intervalo (t0,t0+2π/ω0). La serie trigonométrica de Fourier permite representar f(t) en términos del conjunto ortogonal completo de funciones senoidales

mediante la combinación lineal (stf)

donde

ω0ω0 es la componente de frecuencia fundamental expresada en radianes por segundo y a0, an y bn son los coeﬁcientes la serie trigonométrica de Fourier.

Nótese que dicha sumatoria sólo puede reproducir el comportamiento de una función (o una señal) en un intervalo (de tiempo) igual a

Tal y como se acaba de deﬁnir, dicho intervalo es igual al periodo de la componente de frecuencia más baja que existe en la señal.

Coeficientes de las Series Trigonométricas

Los coeﬁcientes de la serie trigonométrica de Fourier expresan la cantidad de cada una de las “señales sinusoidales puras” que deben sumarse entre sí para obtener la señal analizada.

Matemáticamente, se calculan como la proporción que existe entre la energía de la correlación de la señal con la respectiva función sinusoidal (an) y la energía de esa función sinusoidal (bn), es decir

Siendo

Para n=0n=0

que como podemos apreciar es el valor medio de f(t) en el intervalo (t0,t0+T). Se dice que a0 es la componente de corriente directa o DC (Direct Current) de f(t) en dicho intervalo.

Por otra parte, sabiendo que

las Ecuaciones an y bn también se pueden reescribir de la forma

Señal Rectangular

Obtenemos el valor de los coeficientes de Fourier:

* cos(-x) = cos x y sen (-x) = - sen x

Dándole distintos valores a - n - obtendremos la amplitud correspondiente a cada armónico.

Las señales periódicas contienen componentes de frecuencia discreta nw₀ (n=0, 1, 2, 3..). En teoría tenemos un espectro con infinitas frecuencias pero la amplitud de los armónicos decrece a medida que aumenta la frecuencia, con lo que los armónicos de orden alto llegan a ser despreciables.

n	a_n	n	a_n
0	0.250	7	-0.068
1	0.450	8	0
2	0.318	9	0.050
3	0.150	10	0.064
4	0	11	0.041
5	-0.090	12	0
6	-0.106	13	-0.035

(FOURHAND)

Simetría de Onda.

Son propiedades interesantes de las ondas o funciones periódicas que permiten simplificar la evaluación de losllamados COEFICIENTES DE FOURIER: a0, an, bn.

Simetría Par:

Se dice que una señal periódica f (t) tiene SIMETRIA PAR, cuando cumple la siguiente condición: Para un t dado, f (t ) = f ( -t ).

Simetría Impar

Se dice que una señal periódica f (t) tiene SIMETRIA IMPAR, cuando cumple lasiguiente condición: Para un t dado, f ( t ) = -f ( -t ).

Simetría de Media Onda

Se dice que una señal periódica f (t) tiene SIMETRIA MEDIA ONDA,cuando cumple la siguiente condición: Para un t dado, f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ).

Ejemplo 1:

¿Qué tipo de simetría de onda tiene la siguiente señal f ( t ) ?

Evaluemos primero si tiene SIMETRÍA PAR:

Si la tiene, debe cumplir la condición: f ( t ) = f ( - t ).

Seleccionamos un tiempo t arbitrariamente para evaluar la condición, esto puede hacerse por que la condición, debe cumplirse para todo el dominio. Sin embargo, la recomendación es que se utilicen t tales que coincidan con valores máximos o mínimos de la función f

Evaluemos primero si tiene SIMETRÍA PAR:

Si la tiene, debe cumplir la condición: f ( t ) = f ( - t ).

Seleccionemos: t = ( л/2 )

Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: f ( t ) = f ( л/2 ) = 5

Evaluamos también la función para el – t: f ( -t )= f ( -л/2 ) = -5

Preguntémonos si la señal f ( t ) cumple la condición: ¿ f ( t )= f ( - t )?

¿f ( л/2 )= f ( -л/2 )?

¿ 5 = - 5 ? NO!!!

La respuesta es que NO se cumple la condición, por lo tanto f ( t ) NO tiene simetría PAR.

Evaluemos ahora si tiene SIMETRÍA IMPAR:

Si la tiene debe cumplir la condición: f ( t )= - f ( -t ).

Seleccionamos un tiempo t arbitrariamente para evaluar la condición:

Seleccionemos: t= 3 [л/2]

Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: f ( t ) = f ( 3 [ л/2 ] ) = -5

Evaluamos también la función para el - t: f ( - t )= f ( - 3 [ л/2] ) = 5

Preguntémonos si la señal f ( t ) cumple la condición:¿f ( t )= - f ( - t )?

¿ f ( 3[ л/2])= - f ( - 3[ л/2] ) ?

¿ - 5 = - ( 5 ) ? SI!!!

La respuesta es que SI se cumple la condición, por lo tanto f ( t )SI tiene simetría IMPAR !!.

Serie de Fourier Exponencial

En el análisis de señales se trabaja con 3 tipos de representación en series de Fourier:

Exponencial

(1)

Ortogonalidad de las funciones base.
Facilidad y ciclo de la diferenciación temporal de las funciones base.

La función exponencial compleja cumple siempre con ambos postulados a diferencia de los senos y cosenos cuya diferenciación es cíclica par, es decir, la función vuelve a ser la misma en la 2n derivada. Por esta razón, y sin pérdidad de generalidad, trabajaremos con la representación exponencial.

A la ecuación (1) se le conoce con el nombre de Ecuación de Síntesis, es decir, es la ecuación suficiente y necesaria para expresar únicamente la señal f(t) en términos de exponenciales complejas (síntesis de funciones). En esa ecuación se evidencia la presencia de un término desconocido dk (en realidad infinitos términos) que debe ser hallado mediante un análisis de Independencia Lineal:

, (2)

donde la representación < > indica el producto interno entre funciones, visto de otra manera y usando la propiedad de ortogonalidad de funciones exponenciales

, (3)

La ecuación (3) recibe el nombre de Ecuación de Análisis. El proceso de expansión en series de Fourier se resume entonces en hallar una combinación lineal de señales exponenciales, esta aproximación conduce a errores y a oscilaciones no deseadas conocidas como Fenómeno de Gibbs, como se muestra en la siguiente imagen:

Imagen tomada de http://cnx.org/content/m12929/latest/

Al igual que las series de Taylor, Laurent, Maclaurin, las series de Fourier cuentan con criterios establecidos de suficiencia (no de necesidad) para su convergencia conocidos como Condiciones de Dirichlet: